Mathematik - Grundkurs EF

Funktionen: Wiederholung und Vertiefung	Arbeitsblätter	Übungen Schulbuch
Funktionen: Funktionen gehören in der Mathematik aus unterschiedlichen Gründen zu den wichtigsten Hilfsmitteln. In der Schulmathematik werden sie in erster Linie behandelt, da zahlreiche Prozesse aus der Natur, dem gesellschaftlichen oder wirtschaftlichen Leben durch Funktionen beschrieben werden können. Funktionsbegriff: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Darstellungsformen: Funktionsgleichung y=f(x), Wertetabelle, Graph. Punktprobe: Die Koordinaten eines Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen. Ist die Gleichung erfüllt, liegt der Punkt auf dem Graphen Definitionsbereich: Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte, die für eine Funktionsgleichung zugelassen sind. Der Definitionsbereich wird am Beispiel einfacher Hyperbelfunktionen motiviert und eingeführt. Sachkontexte: Viele Prozesse, bei denen zwei Größen (z.B. x: Anzahl produzierter Güter, y: Einnahmen durch den Verkauf von x Gütern) voneinander abhängig sind, können durch Funktionen beschrieben werden. Intervalle: Ein Intervall ist ein Teilbereich der Zahlengeraden. Bei Funktionen können Intervalle verwendet werden, um den Definitionsbereich einer Funktion in Sachkontexten zu beschränken. Dies ist häufig notwendig, da viele Funktionen für alle reellen Zahlen zugelassen sind, die Funktion aber nur für ein bestimmtes Intervall den gegebenen Sachkontext sinnvoll beschreibt.	Blatt (1) bis (4)	S. 14: A1, A2 (ohne Wertemenge), A3, A6, A7 (schwer)
Affin lineare Funktionen: Eine affin lineare Funktion besitzt im Allgemeinen eine Funktionsgleichung der Form f(x)=mx+b. m ist die Steigung der Funktion. b ist der y-Achsenabschnitt, der den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse S_y(0\|b) angibt. Die affin linearen Funktionen tragen ihren Namen aufgrund ihres Graphen. Dieser ist stets eine "linea" (Lateinisch: Gerade), also eine Gerade. Dadurch bedingt besitzt eine affin lineare Funktion in jedem Bereich die gleiche Steigung. Funktionsgleichung aufstellen: mit Hilfe der Steigung m und eines Punktes, der auf dem Graph der Funktion liegt. Wachstum: Die Steigung m gibt an, ob die Funktion wachsend, fallend oder keines von beidem ist. Graph: Der Graph kann bei gegebener Funktionsgleichung oder mit Hilfe der Steigung und eines Punktes auf dem Graphen gezeichnet werden. Steigungswinkel: Der Steigungswinkel ist ein Maß, um die Steilheit bzw. das Wachstum einer affin linearen Funktion zu beschreiben. Parallelität: Die Graphen zweier affin linearer Funktionen sind parallel, genau dann wenn ihre Steigungen identisch sind. Orthogonalität: Die Graphen zweier Funktionsgraphen sind orthogonal zueinander (schneiden sich senkrecht), genau dann wenn für die Steigungen m_f und m_g gilt m_g=-1/m_f. Schnittpunkt zweier Graphen: Gleichsetzen der Funktionsterme (z.B. f(x)=g(x).)	Blatt (5) bis (12) / Blatt (7) ist entfallen	keine Aufgaben vorhanden (!)
Quadratische Funktionen: Der Graph einer quadratischen Funktion ist im Allgemeinen eine Parabel, die nach oben oder unten geöffnet ist und einen Scheitelpunkt besitzt. Für die Untersuchung quadratischer Funktionen und deren Graphen sind folgende Aspekte wichtig: Scheitelpunktform: y=a(x-d)²+e und allgemeine Form: y=ax²+bx+c Umrechnung von Scheitelpunktform in Normalform einer quadratischen Funktion und umgekehrt Bestimmung des Scheitelpunktes mit Hilfe der Scheitelpunktform Bestimmung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Punktprobe: Liegt ein Punkt auf dem Graph einer vorgegebenen Funktion?	Blatt (17)	Buch S. 230 A1 Buch S. 231 A2, A3, A4
Ganzrationale Funktionen
Potenzfunktionen: Die Graphen von Potenzfunktionen sind allgemeine Parabeln. Die Eigenschaften der Graphen (insebesondere den Verlauf) kann man anhand der Funktionsgleichungen untersuchen. Verlauf des Graphen abhängig vom Vorzeichen und der Potenz zeichnen Verhalten im Unendlichen anhand der Potenz untersuchen Symmetrieverhalten anhand der Potenzen und rechnerisch mit Hilfe der Kriterien untersuchen Transformationen von Potenzfunktionen und deren Auswirkungen auf den Verlauf des Graphen Scheitelpunkt einer Potenzfunktion an der Funktionsgleichung ablesen Funktionsgleichungen von Potenzfunktionen mit Hilfe von Graphen bzw. Punkten auf dem Graphen aufstellen	Blatt (1) bis Blatt (7)	Buch S. 21 A1, A3 Buch S. 22 A10 und Kasten A1
Ganzrationale Funktionen: Der Funktinsterm einer ganzrationalen Funktion ist, vereinfacht ausgedrückt, eine Summe vervielfachter Potenzfunktionen. Viele der Eigenschaften von Potenzfunktionen lassen sich entsprechend auf auf ganzrationale Funktionen übertragen. Folgende Eigenschaften können von Potenzfunktionen auf ganzrationale Funktionen übertragen werden: Ganzrationale Funktionen als summierte Potenzfunktionen verstehen Verhalten im Unendlichen untersuchen Symmetrieverhalten anhand der Potenzen untersuchen Es gibt einige Aspekte bei der Untersuchung ganzrationaler Funktionen, die etwas mehr Theorie als die Theorie der Potenzfunktionen benötigt: Nullstellen einer ganzrationalen Funktion durch Ausklammern bestimmen Nullstellen durch Substitution bestimmen (Biquadratische Gleichungen) Vielfachheit einer Nullstelle grafisch deuten (x-Achse schneiden oder berühren) Graph einer ganzrationalen Funktion mithilfe der Nullstellen, Symmetrieverhalten und Verhalten im Unendlichen zeichnen Ganzrationale Funktionen in Sachkontexten	Blatt (1) bis Blatt (12) und das Stationenlernen	Buch S. 26 A1, A2, A4 (ohne x nache Null), A6, A7 Buch S. 29 A1, A2 Buch S. 30 A6, A7 (Achtung! 5) ist anspruchsvoll!), A9 (anspruchsvoll!) Buch S. 35 A2, A3 (ohne e) und f)) Buch S. 36 Kasten A1, A14 (anspruchsvoll!) Buch S. 39 A1 Buch S. 40 A2, A3, A4, Kasten A1+A2 Buch S. 41 A4 a), b), c), d), g)
Einführung in die Differentialrechnung
Die Differentialrechnung beschäftigt sich damit, das Wachstumsverhalten (genauer das Änderunsgverhalten) einer Funktion an einer Stelle (z.B. x=-4) zu untersuchen. Man nennt das Wachstum einer Funktion f an einer Stelle (z. B. x=-4) die Ableitung von f an der Stelle x=-4. Die Herleitung der Ableitung ist sehr aufwändig, da sie in vielen kleinen Schritten durchgeführt wird. Man greift dabei zunächst auf die Idee des Differenzenquotienten zurück, mit dessen Hilfe man das Wachstum einer affin linearen Funktion bestimmen zu kann. Jedoch beschreibt diese Idee bei einer beliebigen Funktion lediglich das durchschnittliche Wachstumverhalten (Änderungsrate) einer Funktion in einem Intervall. Lässt man das Intervall beliebig klein werden, so beschreibt der Differenzenquotient annähernd das momentane Wachstumsverhalten (Änderungsrate) an einer Stelle (z.B. x=-4). Durchschnittliche Wachstumsverhalten einer Funktion in einem Intervall mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen Durchschnittliche Wachstumsverhalten einer Funktion in Sachkontexten interpretieren (z. B. als Durchschnittsgeschwindigkeit) Genauigkeit des durchschnittlichen Wachstumsverhalten einer Funktion in einem Intervall beurteilen Unterschied zwischen durchschnittlicher und momentaner Wachstumsrate beschreiben und erklären h-Methode zur Bestimmung des momentanen Wachstumsverhaltens aus dem durchschnittlichen Wachstumsverhaltens anwenden und erklären können Mathematische Bezeichnung des momentanen Wachstumsverhalten: Ableitungs einer Funktion f an einer Stelle (z.B. x=5) Ableitungsfunktion zur Bestimmung des momentanen Wachstumsverhaltens verwenden Ableitungsregeln zur Bestimmung der Aleitungsfunktion verwenden können: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Konstantenregel Momentanes Wachstum einer Funktion mithilfe der Ableitung untersuchen Momentanes Wachstumsverhalten in Sachkontexten interpretieren	Blatt (1) bis Blatt (9) und Zusatzblatt	Buch S. 85 A1, A2 Buch S. 86 Kasten A1+A2 Buch S. 90 A3, Kasten A1+A2 Buch S. 101 A1, A2, A3, A4